Dzień liczby PI: Czego jeszcze o niej nie wiecie, a co wiedzieć powinniście?

Ile cyfr ma liczba π?
Zauważywszy zbieżność tej liczby z datą 14 marca (w USA pisze się: March 14, a więc 3.14) Larry Shaw zorganizował, w 1988 roku w Exploratorium (jest to muzeum nauki, sztuki i postrzegania znajdujące się w San Francisco) tzw. Dzień Liczby Pi (Pi Day) – dzień poświęcony popularyzacji samej tej liczby, jak i całej matematyki. Od razu skojarzył go – za sprawą identycznego brzmienia, paj w języku angielskim, słów Pi (łaciński zapis litery greckiej π) i pie (znaczy: ciastko) – ze smakowaniem ciast(eczek) udekorowanych literą π bądź cyframi składającymi się na jej przybliżenie. W 1999 roku Izba Reprezentantów Stanów Zjednoczonych zadeklarowała 14 marca jako Narodowy Dzień Liczby Pi, a zwyczaj jego świętowania – połączony często ze smakowaniem Pi pie (Pi-ciastko) – przyjął się nie tylko w krajach anglojęzycznych, zawitał do Europy i na cały świat.

Zamiast oddać się w tej chwili przyjemności przegryzania takiego ciastka (a może nawet ich większej liczby, a może nawet całego placka ozdobionego – jak na fotografii – liczbą π ulepioną z kakaowej kruszonki), odnotujmy kilka dat, którymi znaczona jest droga do coraz dokładniejszego wyznaczenia wartości liczby π.

W papirusie sporządzonym około 1650 r.p.n.e. ręką skryby Ahmeda (dokumenty ten znany jest jako papirus Rhinda i przechowywany w British Museum) czytamy, że π = 256/81 ≈ 3.1605. Żyjący w Chinach 19 wieków temu Chang Hing podał, że π = 14/45 ≈ 3.1556, zaś działający w Indiach ok.roku 500 Aryabhata ustalił, że π = 3.1416. W 1596 roku Ludolph von Ceulen (1540-1610) podał 10-cyfrowe przybliżenie wartości π, do swej śmierci zdołał, badając wielokąt regularny o 2^62 bokach, wyznaczyć dalsze 25 cyfr (i całość, 3.14159265358979323846264338327950288, wyryto na jego nagrobku). John Wallis (w 1655 roku), Gottfried Wilhelm Leibniz (1674) i Leonard Euler (1735) przedstawili wzory na wyznaczenie wartości π z dowolną dokładnością – w istocie wzory te podawały wartość π w postaci iloczynu oraz sumy nieskończenie wielu ułamków, uwzględnienie początkowej liczby tych ułamków daje owe przybliżenia (przykładowo wzięcie miliona wyrazów daje wartości równe, w przybliżeniu, 3.141512370, 3.141582653 i 3.141583104, a więc pokrywające się z wartością dokładną jedynie do czwartego miejsca po przecinku).

Wraz z nadejściem komputerów uzyskano przybliżenia znacznie bardziej wyrafinowane niż 25-cyfrowe von Ceulena: w roku 1980 Creighton Carvalho wyznaczył 20013 cyfr, w 1995 Hirouki Goto – 42195 cyfr, w roku 2009 prawie trzy biliony cyfr obliczył Fabrice Bellard, 28 grudnia 2013 roku Shigeru Kondo i Alexander Yee podali 12.10^12 (dwanaście bilionów) kolejnych cyfr liczby π – uzyskali je po trwających bez przerwy przez 371 dni obliczeniach przeprowadzonych na dwuprocesorowym komputerze z RAM 96 GB w systemie operacyjnym Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Zapewne wynik ten nie jest ostatnim rekordem w tej rywalizacji, bo wyścig trwa! Trwa mimo tego, że trudno wierzyć, by efektywnie dało się obliczyć wszystkie cyfr rozwinięcia dziesiętnego, jest ono bowiem nieskończone; mówiąc dokładniej: liczba π nie jest liczbą wymierną, tzn. nie daje się zapiać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych (co więcej: π jest liczbą przestępną, a więc – nie wdając się w szczegóły – wśród liczb niewymiernych należy do tych, które są „bardziej niewymierne” niż inne).

Niewymierność liczby π dowiódł, w roku 1761, Johann Heindrich Lambert, jej przestępność – Carl von Lindemann w 1888 roku. Podejrzenie, iż π jest niewymierne, ponad 12 wieków wcześniej wysunął już wspomniany Aryabhata (a więc swój wynik, π = 3.1416, traktował bardziej jako przybliżony niż dokładny). Jeszcze wcześniej wielką ostrożność w tym względzie wykazał Archimedes – około 222 r.p.n.e. oszacował, że π jest liczbą większą niż 223/71 i mniejszą niż 22/7 (a więc ma wartość między 3.1407 a 3.1430).

Choć trudno w to uwierzyć, wyznaczanie wciąż większej liczby cyfr przybliżeń dziesiętnych liczby π jest nie tylko sportem samym w sobie, ich znajomość może mieć poważne znaczenie (np. w kryptografii, a więc – pośrednio – w bezpieczeństwie naszych kont bankowych). Nie brak i takich, którzy w odkryciu prawidłowości występowania cyfr (dotąd, na przykład, nie stwierdzono, że gdzieś jest ciąg 0123456789) widzą zaklętą podstawową wiedzę o świecie. Pogląd ten wyznają nawet poważni uczeni, o czym traktował emitowany przez Planete + kilka dni temu dokument The cosmic code breakers - Hipoteza Riemanna. Zagadka wszech czasów (NHK 2009) poświęcony głównie rozmieszczeniu liczb pierwszych – rozmieszczenie to powiązane jest z liczbami pierwszymi poprzez tzw. iloczyn Eulera i sumę bazylejską.

Kończąc spotkanie z liczbą π wspomnijmy, iż 14 marca urodzili się Albert Einstein (1879-1955) i Wacław Sierpiński (1882-1969). O pierwszym z nich słyszał chyba każdy i jest on uznany za patrona Dnia Liczby Pi (przez niektórych nazywanego Świętem Wszystkich Liczb, a nawet Świętem Matematyki). Drugi jest znany każdemu matematykowi (co najmniej za sprawą tzw. trójkąta Sierpińskiego), na jego grobie, na warszawskich Powązkach, wyryty jest napis Badacz nieskończoności. O liczbach π i φ oraz innych można, zdaje się, nieskończenie, a wśród pięknie napisanych książek popularno-naukowych o liczbach znajdują się π razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu (J.D.Barrow, Prószyński i S-ka 1996), Imperium liczb (D.Guedj, G+J 2003), Królowa bez Nobla (K.Ciesielski, Z.Pogoda, Demart 2013), Księga liczb (J.H.Conway, R.Guy, WNT 2004), Księga liczb – od zera do nieskończoności (T.Glynne-Jones, K.E.Liber 2007) i Liczby natury (I.Steward, CIS 1996) oraz jeszcze nie wydane po polsku Wonders of numbers: Adventures in mathematics, mind, and meaning (C.A.Pickover, Oxford Univ.Press 2000).

Adam Marlewski
Instytut Matematyki, Politechnika Poznańska